2007/04/14 10:10

진화적으로 안정된 전략; ESS Evolutionary theory

trackback; [ 책 ] 이기적 유전자; Richard Dawkins 

  '이기적 유전자'의 5장은 '공격성'이란 제목입니다. 
  이 장에서 핵심이 되는 개념은 '진화적으로 안정된 전략(evolutionarily stable strategy; ESS)'이라는 개념인데, 도킨스는 이 개념을 '매와 비둘기'의 일화로 설명하고 있습니다.  같은 종에서, '매'는 공격성이 강한 개체, '비둘기'는 공격성이 별로 없는 개체를 뜻하지 실제 매와 비둘기가 아닙니다.

  매; 공격적.  비둘기와 만나면 물론 100% 이기지만 같은 매와 만나면 격렬히 싸운다.
  비둘기; 비공격적.  매에게는 지지만 직접 싸우지 않기 때문에 부상에 의한 손해는 없다.

  얼핏 생각하기에 매가 덕을 볼 것 같지만 매끼리 만나면 이기더라도 부상을 입기 쉬우므로 매가 많을수록 매는 손해를 봅니다.  반면 비둘기는 최소한 부상과 시간 낭비는 덜하기 때문에 매가 많을수록 비둘기가 유리하죠.  어느 편의 개체가 많아지냐는 매와 비둘기라는 두 가지 행동 양식에서 어느 편이 실제적으로 이득을 더 보냐에 달려 있습니다.  이에 따라 매와 비둘기의 비율이 결국 어느 평형에 도달하는데, 이 때는 매와 비둘기의 이득이 같아집니다.  바로 이 점이 진화적으로 안정된 전략입니다.


  이 모델링이 게임 이론을 전혀 공부한 일이 없는 어부에게는 좀 시간이 걸리더군요.

  수학적으로 일반화해 계산하려면 아래처럼 승패와 득점표를 만들어야 합니다.

  편의상 매를 H, 비둘기를 P로 표시하죠.  매가 비둘기를 상대해 이길 가능성은 100%, 매가 매를 상대하거나 비둘기가 비둘기를 상대했을 때는 50%로 간주합니다.


  WHP H P를 상대해 이겨 획득하는 보상이며, lPH는 비둘기가 매를 상대했을 때 손해의 크기입니다.

  저는 전부 양수로 표시하기 위해 위 득점표에 minus 부호를 사용했습니다만 일반적으로는 사용하지 않는 편이 알기 쉽습니다.  하지만 H, P 2개의 전략만 있는 system에서는 이 편이 나중에 해석하기 쉽더군요.  WHH minus가 붙어 있는 이유는, 저는 매끼리 싸웠을 때 얻는 손해(부상과 시간 소모 등)가 이익을 초과한다고 가정했기 때문입니다. (물론 이렇지 않을 수도 있습니다.  정하기 나름이죠)

  매와 비둘기가 각각 받는 보상(reward)을 계산해 보면 아래와 같습니다.  물론 R(H)는 매의, R(P)는 비둘기의 보상이죠.  XH는 매의 존재 비율, XP는 비둘기의 존재 비율입니다.


   위에서 같은 것끼리 대결할 때 승패 확률 때문에 1/2이 들어갑니다.  aHH는 매가 매를 만났을 때의 평균 손해의 크기, aPP는 비둘기가 비둘기를 만났을 때의 평균 이익의 크기가 되죠.
  여기서 전체 집단의 평균 보상을 계산하면 Raver입니다.

  여기서 일반적으로 XH 2차항 계수가 음수라고 판단할 수 있습니다.  그것은 매와 비둘기의 정의에서 알 수 있죠.

  문제는 1차항인데, WHP가 정의상 보통 크니까 일반적으로 양수로 간주할 수 있죠.  그 경우에도 아래처럼 두 가지 경우가 나올 수 있습니다.  그래프로 표현하면

  처음에 정의한 것에 따라 aHH > 0 이므로 오른쪽 그래프는 나올 수가 없습니다.  그리고 XH의 정의에 따라 XH 0에서 1 사이이므로, 예상과 같이 '어딘가에 이 집단 전체의 이득이 최대가 되는 점이 존재한다 결과가 나왔습니다.

  이 최대값을 계산하면

  다시 말하자면, 이 값은 '개체들이 집단의 이익을 우선으로 행동한다'고 간주할 때의 이익이죠.  이 수치 이상 전체 집단의 이익은 절대 커질 수가 없습니다.  바로 집단 선택설을 주장한 Wynn-Edwards의 관점에서 얻는 값입니다.


  처음으로 되돌아가서, 
매와 비둘기의 이익이 같아지는 점은 어디일까요?  사실 이것이
진화적으로 안정된 전략’의관점에서 나타나는 평형점입니다.  왜냐하면, 매와 비둘기의 이익이 다르면 이익인 쪽으로 행동하려는 진화적 압력이 나타나기 때문입니다.

  이 결과는 분명히 앞에서 얻은 XH의 평형점과는 다릅니다.  따라서, 집단의 이익이 최대가 되는 점과 개체의 이익이 최대가 되는, 이기적인ESS의 평형점이 다르게 됩니다.  이 평형점에서 집단 전체의 평균 이익을 계산하면


  이 값과 '집단이익 최대'일 때의 평균 이익을 비교해 봅시다.


  위의 이익 곡선에서 뻔했지만, 당연히 ESS에서 얻는 평형 이익이 집단 이익 평형점보다는 손해라는 점이 명백합니다.
  
=======================

  지금까지 논의를 일반적으로 생각하느라 기호를 동원했기 때문에 좀 감이 안 오실 겁니다.  실제 수치를 넣어보면 훨씬 구체적으로 되죠.

 WinLose 
H-10-30H
H20-2P
P10-4P

   1. 매 vs. 매 ; 이길 때 -10, 질 때 -30점 (이기더라도 부상이 크기 때문에 획득한 보상이 전체적으로 마이너스)
   2. 매 vs. 비둘기 ; 매는 20점, 비둘기는 -2점  (비둘기는 아무리 안 싸우더라도 손해는 있게 마련입니다)
   3. 비둘기 vs. 비둘기 ; 이긴 쪽이 10, 지면 -4  (둘이 대결하는 데 시간을 더 끌기 때문에 진 쪽의 손해가 매를 상대했을 때보다 큽니다)

  각각의 특성 수치가 다 나왔으니까 계산을 해 보면

wHH10aHH20
lHH30aPP7
wHP20
lPH2
wPP10
lPP4
T31dH13
F4dP 18

 GroupESS
xH0.065 0.419
xP 0.935 0.581
R(H)17.419 3.226
R(P)6.419 3.226
Raver7.129 3.226
Rdiff3.903  

  집단 선택설 쪽에서 계산한 것보다 ESS 쪽 계산이 매의 비율이 현저히 더 높고, 전체 집단의 평점은 예상대로 현저히 낮습니다.  근본적인 이유는 개체의 이기심 때문인데, 매가 현저히 이득을 보는 상황이라 매의 행동 양식이 집단 전체로 퍼져나가기 때문입니다.  이 근저에 어떤 근본 원칙이 있는지 제 포스팅을 보신 분들은 금방 아실 텐데, 그냥 비워 두기로 하죠. ^^

漁夫

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덧글

  • 꼬깔 2007/04/15 02:32 # 답글

    이 부분 이기적 유전자에서 읽은 적이 있네요. 읽은 때가 좀 되어 지금은 가물가물합니다.--; 다시 한번 찬찬히 봐야겠군요.^^;
  • 어부 2007/04/15 12:35 # 답글

    도킨스가 그 책에서 설명한 예제는 매가 이길 경우 이익을 본다고(저는 손해본다고 가정했습니다) 출발했습니다. 어느 편이건 계산 자체에는 별 무리가 없습니다.
    이런 게임 이론의 위력이, 정자와 난자가 크기가 그렇게 달라진 것을 설명하는데도 쓰더라고요. OTL...
  • 미친고양이 2007/04/18 05:28 # 답글

    뭐, 매들이 즐비해보이는 동아시아에서 작은 우리나라가 살아남으려면 비둘기가 되어야 한다는게 제 평소 신념이기는 한데... 매가 되고 싶어하는 젊은피들은 어떻게 말려야 할지...;;
  • 어부 2007/04/18 09:02 # 답글

    자가당착이에요. 다시 매가 되려는 일본은 죽어라 욕하면서 자기들은 매가 되려 하는군요.
    제가 좋아하는 'On the origins of war'에는 우리의 철혈 재상과 그 이후의 일에 대해 이렇게 말하더군요; 비스마르크는 아우구스투스나 페리클레스에 비해 훨씬 주목할 만하다. 그 두 사람은 한 번 확장 야망이 실패한 후에 제한 정책을 사용했으나 비스마르크는 그런 일 없이도 같은 방향을 취했기 때문이다... (평화를 유지해 간) 비스마르크의 능력은 높게 평가해야 하는데, 그가 실각하여 후계자들이 의도적으로 그의 정책을 거부한 후에도 유럽에서 다시 전쟁이 일어나는 데 25년이 필요했다.... (그의 후계자들이 취한) 변화가 불가피하지도 않으며 꼭 바람직하지도 않다...
    땅덩이 크기, 인구, 국가 경제력 무엇을 보더라도 이 동아시아의 수라장에서 한국은 강대국 하나를 등에 업어야 하고, 지금처럼 가장 멀리 떨어지고 세계 최강국인(당분간은. 아마 제가 살아 있는 동안엔) 미국이 그 나라인 편이 가장 바람직하다는 간단한 생각을 이해하기가 그렇게들 힘든가 봅니다.
  • 미친고양이 2007/04/18 11:50 # 답글

    저 또한 심정적으로는 반미주의자이기는 한데 어부님의 후반부 언급에는 충분히 동의하고 있습니다.^^;; 그러나 이미 증오의 포로가 되어버린 분들은 참.....(먼산)
  • 어부 2007/04/18 16:39 # 답글

    한 마디로 현실에 눈감은 반미강박관념은 니마즐이죠.
  • 장미 2009/05/13 04:29 # 답글

    이걸 식으로 써놓다니 대단하십니다. 저는 그냥 저자가 말로 풀어놓은 산수로 만족하려고 합니다.
  • 漁夫 2009/05/13 09:05 #

    이런 계산을 일반적으로 다루는 사람들이 컴퓨터 시뮬레이션 또는 '수학적 집단 유전학'을 사용합니다. 상대가 둘 뿐인데도 이런데, 셋 이상 넘어가면 얼마나 복잡하겠습니까. 저도 세 가지가 존재하는 경우를 따져 보려다가 포기했습니다 -.-
  • chloe 2010/04/19 22:26 # 삭제 답글

    테일러 용커 동역학방정식 아닙니까? 이거 경제학과인 처지로 배우려다보니 등골이 휘던데요. 아무튼 친절한 호구로서 연애에서 벗겨먹히는 비둘기인 저로서는 그리 안반가운 orz..
  • 漁夫 2010/04/19 22:47 #

    전 테일러 용커 동역학방정식이 뭔지 모릅니다. 아마도 경제학과의 game theory에서 나오는 모양인데 전 경제학을 전공하지 않았으며 생물학과에서 game theory를 들은 적이 없어서 뭔지... 분명히 제가 다룬 것을 행렬이나 tensor 등으로 일반화하여 다룰 수 있을 텐데 tensor는 말짱 다 까먹어서 지금 그거 써먹기에는 역부족이군요.

    [ 포스팅의 ㅁㄴㅇ;리ㅏㅁ넝라ㅓㅁㄴ아... 얘기 잘 읽었습니다 :-) ]
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